Aos 16 anos, Pascal enunciou uma generalização do teorema de Pappus que ficou conhecido como Teorema de Pascal.
Pascal contribuiu para a criação de novos ramos da Matemática, tais como a Geometria Projetiva, a Estatística e a Análise Combinatória, estes com Fermat, como vimos acima.
É bem conhecido seu estudo sobre o triângulo aritmético, formado por binômios de Newton, atribuído a Omar Khayyám, matemático e poeta persa do séc. XI, a Yang Hui, matemático chinês do séc. XIII, mas também conhecido como Triângulo de Tartaglia e, naturalmente, também, Triângulo de Pascal.
Esse triângulo tem inúmeras propriedades interessantes, relacionados a coeficientes binomiais, números primos, números figurados, números de Fibonacci, ao fractal conhecido como Triângulo de Sierpisnski, etc.
Em Física, contribuiu à Mecânica dos Fluidos, esclarecendo os conceitos de pressão e vácuo ampliando o trabalho de Torricelli, tendo aperfeiçoado seu barômetro. Estabeleceu o chamado Princípio de Pascal, segundo o qual,
qualquer alteração de pressão produzida num líquido em equilíbrio transmite-se igualmente a todos os pontos do líquido e às paredes do recipiente que o contém.
É ele que garante o funcionamento de elevadores hidráulicos, como os dos postos de gasolina, e dos freios dos carros.
Com 19 anos, criou a primeira calculadora mecânica que se conhece, a que chamou de La pascaline, segundo consta, "para aliviar o trabalho do seu pai como um agente fiscal".
Em sua homenagem, a unidade do Sistema International de unidades para a pressão foi denominada Pascal, valendo um Newton por metro quadrado.
Após uma visão divina, abandonou as ciências para se dedicar à Teologia, tendo suas ideias influenciado os ingleses Charles e John Wesley, fundadores da Igreja Metodista. Envolveu-se em disputas com os jesuítas e fez uma defesa do Cristianismo. É célebre sua frase
"O coração tem suas razões, que a própria razão desconhece"
Desta época, também, é o argumento calculista conhecido como Aposta de Pascal, de que mesmo que não se possa provar a existência de Deus, uma pessoa racional deveria agir como se acreditasse em Deus, pois, agindo assim, o ganho seria grande e a perda pequena. O argumento se expressa como:
Na verdade, esse argumento incorre em várias falácias, dentre elas, a da falsa dicotomia, a restrignir as opções entre acreditar ou não no Deus cristão.
Apesar disso, esse argumento é considerado um precursor do Utilitarismo.
Entrou na Universidade de Leipzig aos 14 anos, obteve seu bacharelado dois anos depois e o grau de mestre mais dois anos depois.
Em 1666, publicou seu primeiro livro, Ars Combinatoria (Sobre a Arte da Combinação), parte de sua tese, mas a Universidade recusou-se a lhe conceder o grau de doutor, provavelmente por ser muito jovem. Então, matriculou-se na Universidade Altdorf, na qual conseguiu o doutorado.
Recusando uma posição de professor na Universidade, tornou-se um 'faz-tudo' para as casas de Brunswick e de Hanover
Quando encontrou com Huygens em Paris, reconheceu que seus conhecimentos Matemática e Física eram fragmentáres e iniciou um programa de estudo autodidata, tendo Huygens como mentor, que rapidamente o capacitou a contribuir a esses dois campos.
Leibniz acreditava que os símbolos eram fundamentais para o entendimento humano e atribuía muita importância à notação.
Com isso, introduziu os símbolos ∫ para a integral e d para o diferencial.
Leibniz utilizou o cálculo pela primeira vez, no final de 1675, para calcular a área sob uma função y=f(x).
No final de 1676, Leibniz visita Londres e Newton, que estava, então, empregando os fluxões. Anos depois, este acontecimento dará margem a acusações, nunca provadas, de que ele teria plagiado o trabalho de Newton na invenção do Cálculo.
Leibniz inventou o sistema binário de numeração, uma versão primitiva da lógica matemática, a noção geral de função, o uso de matrizes para a resolução de sistemas de equações lineares, entre outras contribuuições.
Na Física, Leibniz introduziu o conceito de vis viva, (força viva),
onde m é a massa do corpo e v é a sua velocidade, que depois se transformou na energia cinética, com os trabalhos de Navier, Coriolis e Poncelet
quantidade conservada, como Helmholtz demonstrou em 1847. Neste, Leibniz também foi acusado de plágio por Newton de sua conservação de quantitas motus (quantidade de movimento), hoje mais comumente denominada momento linear:
Afinal se descobriu que estas duas quantidades se conservam independentemente.
Leibniz era ligado à postura filosófica do Otimismo. Ele concluiu que, se Deus é onipotente e onisciente, o mundo que ele criou deve ser “o melhor dos mundos possíveis”, pensamento que foi ridicularizado por Voltaire em seu conto Cândido, ou O Otimismo.
Dentre os vários dispositivos que Leibniz inventou, o mais famoso é a sua máquina de calcular, a qual lhe valeu seu ingresso na Royal Society.
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